泊松方程(法語:Équation de Poisson)是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式,因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。[1]
方程的叙述[编辑]
泊松方程式為
![{\displaystyle \Delta \varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78b7e5915cbba73986bd67d0e836dea9bce532a)
在這裡
代表的是拉普拉斯算子,而
和
可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間,而拉普拉斯算子通常表示為
,因此泊松方程通常寫成
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66b1762dad29817722df3c923e9e6ec29ba1b89)
在三維直角坐標系,可以寫成
![{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974dfffb801d29eb9df825bd52833b2034b27c99)
如果有
恒等于0,這個方程式就會變成一个齐次方程,这个方程称作“拉普拉斯方程”。
![{\displaystyle \Delta \varphi =0.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f656635a093e1be0dbd3053eb97df87a2302409)
泊松方程可以用格林函數來求解;如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程。現在也发展出很多種數值解,如松弛法(一种迭代法)。
数学表达[编辑]
通常泊松方程式表示为
![{\displaystyle -\Delta \varphi =f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433da28046a914a022f1a3350967c8bdb678428c)
这里
代表拉普拉斯算子,
为已知函数,而
为未知函数。当
时,这个方程被称为拉普拉斯方程。
为了解泊松方程我们需要更多的信息,比如狄利克雷边界条件:
![{\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7586b7ed1c6b404e228096f7cacedc90cb88d859)
其中
为有界开集。
这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解,拉普拉斯方程的基础函数为:
![{\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0698f8b87463ef344ee6e02f9c494a09be907b6f)
其中
为n维欧几里得空间中单位球面的体积,此时可通过卷积
得到
的解。
为了使方程满足上述边界条件,我们使用格林函数
![{\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3d4d79fdd3375fc7c7a0fc7b449074f1be2da1)
为一个校正函数,它满足
![{\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0019c9c405bea458e894cecc507d5aa8d1fac6b1)
通常情况下
是依赖于
。
通过
可以给出上述边界条件的解
![{\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b72229d10c4b05665926b4e314555e97dce2205)
其中
表示
上的曲面测度。
此方程的解也可通过变分法得到。
靜電學[编辑]
在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題,因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制(SI)中:
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211a21364d15fa72f91430ea8ce648633c52d129)
此
代表電勢(單位為伏特),
是體電荷密度(單位為庫侖/立方公尺),而
是真空電容率(單位為法拉/公尺)。
如果空間中有某區域沒有帶電粒子,則
![{\displaystyle \rho =0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dc7a4198bf768984915d90cf8fee25a94382eff)
此方程式就變成拉普拉斯方程:
![{\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527b11a928265a6dd42895b54ff89692abb7b0a3)
高斯電荷分佈的電場[编辑]
如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度
:
![{\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4326947594f778f7b1bc214add6dd809e72ce5d)
此處,Q代表總電荷
此泊松方程式:
的解Φ(r)則為
![{\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/946df27ee056172d7d9c9f65c5c3a595fd2dbb7e)
erf(x)代表的是误差函数.
注意:如果r遠大於σ,erf(x)趨近於1,而電場Φ(r)趨近點電荷電場
;正如我們所預期的。
参考文献[编辑]
- Poisson Equation (页面存档备份,存于互联网档案馆) at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.
外部链接[编辑]